ATUALIZADO!

11) CURIOSIDADES COM NÚMEROS

Por vezes quando efetuamos algumas operações obtêm-se resultados curiosos e interessantes embora a sua importância seja mínima. Por exemplo:

¨ 806 pode ser decomposto no seguinte produto:

806 = 31 x 26.

806 = 62 x 13.

 ¨ Produto do número 37 pelos primeiros múltiplos de 3, diferente de zero.

3 x 37 = 111

6 x 37 = 222

9 x 37 = 333

12 x 37 = 444

15 x 37 = 555

18 x 37 = 666

21 x 37 = 777

24 x 37 = 888

27 x 37 = 999

 ¨ Produto de 3367 pelos primeiros múltiplos de 33, não nulo.

33 x 3367 = 111111

66 x 3367 = 222222

99 x 3367 = 333333

132 x 3367 = 444444

165 x 3367 = 555555

198 x 3367 = 666666

231 x 3367 = 777777

264 x 3367 = 888888

297 x 3367 = 999999

 Se continuássemos a multiplicar não obteríamos a mesma sequência de números, mas sim outra que até também é engraçada.

330 x 3367 = 1111110

363 x 3367 = 1222221

396 x 3367 = 1333332

429 x 3367 = 1444443

462 x 3367 = 1555554

495 x 3367 = 1666665

528 x 3367 = 1777776

561 x 3367 = 1888887

594 x 3367 = 1999998

 ¨ Outro conjunto de operações com algo de curiosidade:

1 x 9 + 2 = 11

12 x 9 + 3 = 111

123 x 9 + 4 = 1111

1234 x 9 + 5 = 11111

12345 x 9 + 6 = 111111

123456 x 9 + 7 = 1111111

1234567 x 9 + 8 =11111111

12345678 x 9 + 9 = 111111111

12) MULTIPLICAR UM NÚMERO POR...

¨ Multiplicar um número por 11:

Quando o número for de 2 algarismos, basta somar esses 2 algarismos e colocar o resultado no meio deles. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 26 x 11.

Temos o número 26, somando seus 2 algarismos temos 2 + 6 = 8. Pronto! Agora é só colocar esse 8 no meio deles: a resposta é 286. Portanto 26 x 11 = 286.

Outros exemplos:

1) 34 x 11

Somamos os algarismos do número 34: 3 + 4 = 7.

Colocamos o resultado no meio deles: 374. Portanto 34 x 11 = 374.

2) 81 x 11

Somamos os algarismos do número 81: 8 + 1 = 9.

Colocamos o resultado no meio deles: 891. Portanto 81 x 11 = 891.

3) 37 x 11

Somamos os algarismos do número 37: 3 + 7 = 10.

Como deu um número maior que 9, então não podemos colocar todo o número no meio deles. Colocamos apenas o algarismo das unidades (0) no meio deles, e o algarismo da dezena (1) é somado ao primeiro algarismo do número: 407. Portanto 37 x 11 = 407.

Quando o número for de 3 algarismos, então esse número multiplicado por 11 resultará em um número de 4 algarismos. Por exemplo, vamos efetuar a seguinte multiplicação: 135 x 11.

Temos o número 135. Somando o primeiro com o segundo algarismo desse número temos 1 + 3 = 4. Somando o segundo com o terceiro algarismo desse número temos 3 + 5 = 8. Esses 2 resultados serão colocados no meio do número 135, tirando o seu algarismo do meio: 1485. Portanto 135 x 11 = 1485.

 ¨ Multiplicar um número por 9:

Nesse caso basta acrescentar um zero no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 9.

Acrescentando um zero no final do número 44 ficamos com 440. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 440 – 44 = 396. Portanto 44 x 9 = 396.

Outros exemplos:

27 x 9 = 270 – 27 = 243.

56 x 9 = 560 – 56 = 504.

33 x 9 = 330 – 33 = 297.

 ¨Multiplicar um número por 99:

Nesse caso basta acrescentar 2 zeros no final do número e subtrair pelo número inicial. Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 44 x 99. Acrescentando 2 zeros no final do número 44 ficamos com 4400. Então subtraímos desse valor o valor inicial: 4400 – 44 = 4356. Portanto 44 x 99 = 4356.

Outros exemplos:

27 x 99 = 2700 – 27 = 2673

56 x 99 = 5600 – 56 = 5544

33 x 99 = 3300 – 33 = 3267

 ¨ Multiplicar um número por 101:

Quando um número de 2 algarismos AB for multiplicado por 101, o resultado será ABAB. Alguns exemplos:

43 x 101 = 4343

32 x 101 = 3232

14 x 101 = 1414

 ¨ Essa é Interessante...

Multiplicar 2 números (de 2 algarismos) que possuam o mesmo algarismo das dezenas, e a soma de seus algarismos das unidades seja 10.

Exemplos de multiplicações que podem ser feitas com esse método: 42 x 48, 53 x 57, 21 x 29, 35 x 35, 87 x 83, 94 x 96, etc.

Devem ser seguidos os seguintes passos:

1) Multiplicamos o algarismo das dezenas (que é igual nos 2 números) pelo número seguinte a ele (ou seja, o seu sucessor);

2) Multiplicamos os algarismos das unidades normalmente;

3) Juntamos as duas partes.

Vamos efetuar a seguinte multiplicação: 53 x 57:

Passo 1:

5 x 6 = 30

Passo 2:

3 x 7 = 21

Passo 3:

Juntamos os dois números: 3021.

Portanto 53 x 57 = 3021. Barbada!

Outro exemplo: 94 x 96:

Passo 1:

9 x 10 = 90

Passo 2:

4 x 6 = 24

Passo 3:

Juntamos os dois números: 9024.

Portanto 94 x 96 = 9024. Barbada!

13) SOMA DOS N PRIMEIROS NÚMEROS NATURAIS ÍMPARES

A soma dos n primeiros números naturais ímpares é igual a n². Exemplos:

1) Soma dos 5 primeiros números naturais ímpares (1+3+5+7+9):

A soma é igual a 5² = 25.

2) Soma dos 15 primeiros números naturais ímpares:

A soma é igual a 15² = 225.

14) Quadrados Mágicos.pps

 

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1) ADIVINHANDO NÚMEROS - I

Você conhece aquelas brincadeiras de "adivinhar" números". Veja uma delas.

Peça para um amigo seguir os passos indicados:

1) Escolha um número qualquer. __________

2) Adicione esse número ao seu sucessor. _______ + _______ = _______

3) Adicione 9 ao resultado. ______ + 9 = _______

4) Divida o resultado por 2. _______ : 2 = _______

5) Subtraia o número que você escolheu inicialmente. _______ - _______ = _______

Agora você adivinha que a resposta é 5.

Você sabe como foi possível "adivinhar" a resposta?

Vamos repetir o problema, chamando o número escolhido de x.

1) Escolha um número natural qualquer: x

2) Adicione esse número ao seu sucessor: x + x + 1 = 2x + 1

3) Adicione 9 ao resultado: 2x + 1 + 9 = 2x + 10

4) Divida o resultado por 2: (2x + 10) : 2 = x + 5

5) Subtraia o número que você escolheu inicialmente: x + 5 - x = 5

Assim, você pode observar que a resposta é sempre 5, não importando o número escolhido inicialmente.

2) ADIVINHANDO NÚMEROS - II

Peça a um amigo para esconder na mão uma certa quantidade de palitos, de 1 a 9. Diga-lhe que você vai adivinhar quantos palitos ele escondeu, contanto que lhe mostre a resposta obtida em cada etapa.

As etapas são as seguintes:

1) Multiplique a quantidade de palitos por 2.

2) Some 3 ao produto encontrado.

3) Multiplique a soma por 5.

4) Subtraia 6.

Peça ao seu amigo a resposta final e você "adivinhará" a quantidade de palitos, simplesmente observando o algarismo das dezenas da resposta dada.

 

Por exemplo, seu amigo escondeu quatro palitos. 1) 4 . 2 = 8 2) 8 + 3 = 11 3) 11 . 5 = 55 4) 55 - 6 = 49  49 = 4 palitos

Veja como a álgebra explica esse truque. Quantidade de palitos escondida: x

 

Etapas:

1) Multiplique a quantidade de palitos por 2: 2x

2) Some 3: 2x + 3

3) Multiplique por 5: 10x + 15

4) Subtraia 6: 10x + 9

Como a quantidade x de palitos varia de 1 a 9, o algarismo das dezenas no resultado final representa o número x.

3) ADIVINHANDO NÚMEROS - III

Para realizar esse truque você pedirá a um amigo para fazer algumas contas e, assim, você "adivinhará" o dia do aniversário dele.

Vamos combinar: janeiro = 1; fevereiro = 2; março = 3, ...

Exemplo: Meu aniversário é 25 de abril. O dia é 25 o número do mês é 4.

1) Multiplique o número do mês por 5 e adicione 7.

4 . 5 = 20 + 7 = 27

2) Multiplique por 4 e adicione 13

27 . 4 = 108 + 13 = 121

3) Multiplique por 5

121 . 5 = 605

4) Adicione o dia do mês correspondente ao seu aniversário.

605 + 25 = 630

5) Qual a resposta? 630

Agora vou subtrair 205 da resposta: 621 - 205 = 425

Portanto, 4 é o mês e 25 é o dia. Assim seu aniversário é 25 de abril.

Novamente os polinômios explicam o truque. Veja:

1) Multiplique o número do mês por 5: 5M

2) Adicione 7: 5M + 7

3) Multiplique por 4: 20M + 28

4) Adicione 13: 20M + 41

5) Multiplique por 5: 100M + 205

6) Adicione o dia do mês: 100M + 205 + D = (100M + D) + 205

7) Subtraia 205: (100M + De) + 205 - 205 = 100M + De

O polinômio 100M + De coloca o número do dia na casa das unidades e das dezenas e o número do mês nas casas das centenas e das unidades de milhar.

4) ADIVINHANDO NÚMEROS - IV

Para realizar esse truque você pedirá a um amigo para fazer algumas contas e, assim, você "adivinhará" o resultado da operação.

1) Pense em um número de três algarismos, de modo que o algarismo da unidade seja diferente do algarismo da centena (os algarismos dos extremos tem que ser diferentes).

Exemplo: 325

2) Inverta a ordem do número.

523

3) Subtraia o maior número do menor.

523 - 325 = 198

4) Inverta a ordem do resultado

981

5) Agora soma os dois números.

198 + 981 = 1089.

Observe que qualquer número escolhido, após as operações acima, resultará sempre 1089 como resposta. Interessante, não?...

5) Tem coisas que nem Einstein explicaria. Aí vai uma delas... Pegue uma calculadora porque dá muito trabalho fazer de cabeça:

1- Digite os 4 primeiros algarismos de seu telefone (não vale número de celular);

2- multiplique por 80.

3- some 1.

4- multiplique por 250.

5- some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone.

6- some com os 4 últimos algarismos do mesmo telefone de novo.

7- diminua 250.

8- divida por 2.

Reconhece o resultado ???...

É O NÚMERO COMPLETO DE SEU TELEFONE

6) Os números revelam grandes segredos.

O número 1

A partir do número 1 podemos obter todos os outros algarismos, assim:

1 x 1 = 1

11 x 11 = 121

111 x 111 = 12321

1111 x 1111 = 1234321

11111 x 11111 = 123454321

111111 x 111111 = 12345654321

                  ...

Solução: Observe que é uma seqüência de número natural, por exemplo, quando temos: 111 x 111 = como tenho três algarismos 1, então teremos a seqüência: 123 e depois decresce de uma unidade até chegar o número 1 novamente, assim: 21. Portanto 111 x 111 = 12321, Repare que sempre começa com 1 e termina também com 1.

 7) A base 11

11⁰ = 1

11¹ = 11

11² = 121

11³ = 1331

11⁴ = 14641

Solução: A base 11 sempre terá como resultado um número que começa com 1 e termina também com 1. Já sabendo quando vale 11⁰ = 1 e 11¹ = 11, para sabermos 11² basta pegarmos o resultado da potência anterior, ou seja, 11¹ = 11, então já sabemos que o número começa com 1 e termina com 1, depois, começamos da direita para esquerda (ou vice-versa) somando os algarismo até o último, assim: 1 + 1 = 2, portanto, 11² = 121. 11³ = 1 + 2 = 3 e 2 +1 = 3, então temos: 1331. 11⁴ = 1+3, 3+3, 3+1, assim temos: 14641.

8) Quadrados de números terminados em 5

Separa-se o último algarismo (o número 5) do número e multiplica-se o número restante por seu sucessor; em seguida, acrescenta-se 25.

Exemplos:

15² = 225

25² = 625

35² = 1225

45² = 2025

Seja o número 35; separamos o último algarismo (o número 5) e fica 3; em seguida multiplicamos pelo seu sucessor, ou seja, 4. Então temos, 3 vezes 4 igual a 12. Depois justapomos 25. Pronto! O resultado é 1225.

É muito fácil de ser explicado. Qualquer número terminado em 5 pode ser escrito como sendo igual a 10y + 5, sendo y o número que resta após a retirada do último algarismo. Se elevamos esse número ao quadrado, obtemos 100y² + 100y + 25 ou 100y(y + 1).

9) Multiplicação de quatro números sucessivos + 1

"O sucessor do produto de quatro números é sempre um quadrado perfeito".

Exemplo:

2x3x4x5+1 = 11²

3x4x5x6+1 = 19²

4x5x6x7+1 = 29²

10) Problemas com infinito: a raiz quadrada de 2 e as frações contínuas

Queremos obter uma seqüência de números racionais que estejam mais e mais próximos da raiz quadrada de 2. Uma maneira de fazer isso é expressando esse número como uma fração contínua. Observe que:  

Se você achou que essa é uma maneira estranha de escrever a raiz quadrada de 2, veja o que mais podemos fazer:

Esse processo pode ser continuado por tantas vezes quanto quisermos, gerando uma espécie de fração prolongada, representado por:

Se interrompermos esse processo, obtemos um numero racional que será uma aproximação racional da raiz quadrada de 2. Realmente, uma aproximação da raiz quadrada de 2 com 9 casas decimais é 1,414213562, enquanto:

Uma fração contínua é algo assim como um fractal algébrico.